Un funtor es una asignación entre dos categorías, digamos que el funtor F va de la categoría C en la categoría D, entonces toma objetos en C y los manda en objetos en D, toma morfismos en C y los manda en morfismos en D, respetando las siguientes reglas: 1) La identidad va en la identidad 2) La composición de dos morfismos va en la composición de las imágenes de esos dos morfismos si el funtor es covariante, o en la composición opuesta si el funtor es contravariante.

Ahora bien (te lo escribo en código látex porque no sé como poner el diagrama en esta pantallita y porque seguro eres estudiante de Matemáticas) una sucesión exacta corta es una sucesión de la forma

$ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B \stackrel{g}{\rightarrow} C \rightarrow 0 $ donde el primer morfismo es inyectivo (monomorfismo) el segundo es suprayectivo (epimorfismo) e Im(f) = Ker(g).

Si la sucesión exacta corta "vive" en C y F es covariante entonces te manda esa sucesión en la sucesión

$ F(A) \stackrel{F(f)}{\rightarrow} F(B) \stackrel{F(g)}{\rightarrow} F(C) $, la cual no necesariamente es exacta, así que se define que "F es exacto izquierdo" cuando para toda sucesión como la mostrada se obtiene que F(f) es monomorfismo e Im(F(f))=Ker(F(g)), aunque ya no se pueda asegurar que F(g) sea epimorfismo. El ejemplo clásico de un funtor exacto izquierdo es el funtor Hom (tanto en el caso covariante como en el contravariante).

De aquí ya puedes deducir que sería ser exacto izquierdo para un funtor contravariante, que sería ser exacto derecho para los casos covariante y contravariante y que sería ser un funtor exacto.

Aquí usé la definición para sucesiones que viven en categorías de módulos, pero todas estas nociones se extienden a categorías exactas.

Un par de funtores adjuntos entre dos categorías C y D consiste en dos funtores F: C → D y G: D → C y un isomorfismo natural que consiste en funciones biyectivas



φX, Y: MorD(F(X), Y) → MorC(X, G(Y)) para todos los objetos X en C y Y en D. Entonces decimos que F es adjunto izquierdo de G y que G es adjunto derecho de F.



Cada par de funtores adjuntos define una unidad η, una transformación natural del funtor IdC a GF que consisten en morfismos



ηX: X -> GF(X) para cada X en C. ηX se define como φX, F(X) (idF(X)). Análogamente, se puede definir una co-unidad ε, una transformación natural que consiste en morfismos



εY: FG(Y) → Y. para cada Y en D.