Ok, lo que tenemos que hacer aqui, es, espero que estes llevando calculo eh, porque aqui aplicare algunas cositas referidas a eso, vamos a ver :
P.D : Siempre dejo una pequeña nota antes de ponerme a resolver el problema, lo hago porque algunos se copian, o porque teniendo la experiencia de enseñar, se como se puede o se debe explicar paso a paso un problema, y sobretodo en un medio complicado como este.
Y=x^2
La grafica de esta funcion es una parabola, una parabola que se extiende hacia arriba, asi que, el vertice es : (0.0)
F(x) = x^2
aplicando el criterio de la primera derivada : F'(x) = 2x
F'(x) = 0, para hallar los puntos criticos, esto aplicaremos en todas las demas ecuaciones.
x = 0
Ahora, F(0) = 0, este es el valor minimo de la funcion.
Es un minimo porque la parabola se extiende hacia arriba, es por eso que la grafica tendra un valor minimo, y no un valor maximo.
Y=x(4-x)
Aqui tenemos otra parabola :
F(x) = 4x - x^2
A diferencia de la otra parabola, esta si tiene un maximo, por que ?. Porque la anterior, se extendia hacia arriba, y es por eso que cuando una parabola se extiende hacia la parte positiva de las "y", no tienen maximos, cuando se extiende hacia abajo, como en la que tenemos, la parabola tiene un punto maximo.
Interceptos de la parabola :
4x - x^2 = 0
x(4 - x) = 0, los interceptos : x = 0 y x = 4, en el eje X
para x = 0, y = 0
F(x) = 4x - x^2 >>> F'(x) = 4 - 2x = 0 >>> x = 2
Reemplazando este punto x = 2, en la funcion F(x).
El punto maximo sera : 4*2 - 4 = 4
Y=(x+3)(x+3)
F(x) = x^2 + 6x + 9
Otra parabola, que se extiende hacia arriba, por lo tanto no hay maximos, sino un valor minimo.
Interceptos : para y = 0 ; x = -3
para x = 0 ; y = 9
F'(x) = 2x + 6 = 0 >>> x = -3 >> Punto critico.
reemplzando x = -3, en la funcion, como era de esperarse, resulta cero. Ese es el valor minimo
Y=x(x-4)
Mismo procedimiento : Parabola, no tiene valor maximo, pero si un valor minimo
F(x) = x^2 - 4x
Interceptos : x = 0 ; y = 0
y = 0 ; x = 0 y 4
F'(x) = 2x - 4 = 0 >>> x = 2
Entonces el minimo de la funcion = 4 - 8 = - 4
Y=x(x+4)
Aqui, la parabola es una que se extiende hacia arriba, otra vez no hay un maximo, pero hay un minimo.
Interceptos : Para x = 0 ; y = 0
Para y = 0 ; x = 0 y -4
F'(x) = 2x + 4 = 0 >>>>>> x = -2
Reemplazando el valor x = -2 ; Y = -4 >> minimo
Y=(x+3)(x-3)
Otra parabola, que se extiende hacia arriba, entonces tiene un minimo pero no tiene maximo.
Interceptos : x = 0 ; Y = -9
Y = 0 ; x = +/- 3
F'(x) = 2x >>> x = 0 >>> punto critico
El minimo sera : Y = -9
Y=(x+2)(x+3)
Otra parabola que se extiende hacia arriba :
x = 0 ; y = 6
y = 0 ; x = -2 y -3
F'(x) = 2x + 5 = 0 >>> x = -5 / 2
Reemplazando el punto en F(x), entonces : Y = -1/4, este es el valor minimo de la funcion.
En esta :
Y=2x(x+4)
Otra parabola, que se extiende hacia arriba :
F(x) = 2x^2 + 8x
Interceptos : x = 0 ; y = 0
y = 0 ; x = 0 y -4
F'(x) = 4x + 8 = 0 >>>> x = -2 >>> punto critico
reemplazando este valor en F
Minimo de la funcion : -8
Espero hayas comprendido, no son pasos dificil, la derivada si te has dado cuenta, es una recta, Tu sabes que una definicion de la derivada, es que es la pendiente de la recta tangente.
El criterio de la primera derivada, nos ayuda a encontrar puntos criticos, para encontrar los maximos y minimos de una funcion.
Ecuacion general de la parabola :
Y = ax^2 + bx + c
Suerte.