la ecuación de la circunferencia



(x-xo)^2 + (y-yo)^2 = r^2



..cuyo centro esta en el eje X..



por lo tanto yo = 0



reemplazando



(x-xo)^2 + y^2 = r^2



..tangente a la recta x - y = 2 en el punto (4,2) ...



el punto (4,2) pertenece a la circunferencia



(4-xo)^2 + 2^2 = r^2



(4-xo)^2 + 4 = r^2



y



la recta tangente



x - y = 2



despejando y



y = x - 2



la pendiente de la recta m = 1



la pendiente de la recta tangente es la derivada primera de la función en el punto



(x-xo)^2 + y^2 = r^2



reescribiendo la función



y = (r^2 - (x-xo)^2) ^1/2



derivada primera



y´= 1/2*(r^2 - (x-xo)^2)^(-1/2) * (- 2(x-xo))



reemplazando x= 4



y´= 1/2*(r^2 - (x-xo)^2)^(-1/2) * (- 2(x-xo))



y´= 1/2*(r^2 - (4-xo)^2)^(-1/2) * (- 2(4-xo)) = 1



multiplicando por (r^2 - (4-xo)^2)^(1/2)



- (4 - xo) = (r^2 - (4-xo)^2)^(1/2)



elevando al cuadrado



(4- xo)^2 = r^2 - (4-xo)^2



(4- xo)^2 + (4-xo)^2 = r^2



2*(4 - xo)^2 = r^2



reemplazando r^2 de la ecuación en el punto (4,2)



2*(4 - xo)^2 = (4-xo)^2 + 4



2*(4 - xo)^2 - (4-xo)^2 - 4 = 0



(4 - xo)^2 - 4 = 0



4^2 - 2*4*xo + xo^2 - 4 = 0



xo^2 -8xo + (16-4) = 0



xo^2 -8xo + 12 = 0



las soluciones de esta ecuación cuadrática son



xo1 = ( 8 + ((-8)^2 - 4*1*12)^(1/2) )/ (2*1)

xo2 = ( 8 - ((-8)^2 - 4*1*12)^(1/2) )/ (2*1)



resolviendo la raíz cuadrada



((-8)^2 - 4*1*12)^(1/2) =

(64 -48)^(1/2) = (16)^(1/2) =4



reemplazando en las soluciones



xo1 = ( 8 + 4) / 2 = 12 /2 = 6

xo2 = ( 8 - 4) / 2 = 4 /2 = 2



reemplazando en la ecuación para obtener r



(4-xo)^2 + 4 = r^2



r1^2 = ( 4 - 6)^2 + 4 = 4+4 = 8



r2^2 = ( 4 - 2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8



reemplazando en la ecuación de la circunferencia



(x - 6)^2 + y^2 = 8 <-----------



o



(x - 2)^2 + y^2 = 8 <-------------



Estas dos circunferencias cumplen las condiciones impuestas.



Para determinar cual es que se busca hay que reemplazar la recta en la circunferencia y buscar una solución única. Las rectas tangentes tienen un solo punto en común con la circunferencia



primera circunferencia



(x - 6)^2 + y^2 = 8



reemplazando



y = x -2



(x - 6)^2 + (x-2)^2 = 8



x^2 - 2*6*x + 6^2 + x^2 - 2*2x + 2^2 = 8



2x^2 - (12 + 4)x +(36+4 -8) = 0



2x^2 -16x + 32 = 0



dividiendo por 2



x^2 - 8x + 16 = 0



las soluciones de esta ecuación cuadrática son



x1 = ( 8 + ((-8)^2 - 4*1*16)^(1/2) )/ (2*1)

x2 = ( 8 - ((-8)^2 - 4*1*16)^(1/2) )/ (2*1)



resolviendo la raíz cuadrada



((-8)^2 - 4*1*16)^(1/2) =

(64 -64)^(1/2) = (0)^(1/2) =0



reemplazando en las soluciones



x1 = x2 = 8 / 2 = 4



Existe un solo punto de contacto entre la recta y la circunferencia por lo tanto



(x - 6)^2 + y^2 = 8 <---------------------- es la ecuación buscada



segunda circunferencia



(x - 2)^2 + y^2 = 8



reemplazando



y = x -2



(x - 2)^2 + (x -2)^2 = 8



2 (x -2)^2 = 8



(x -2)^2 = 8/2 = 4



x1 - 2 = + (4)^(1/2) = 2



x1 = 2+2 = 4



x2 -2 = - (4)^(1/2) = -2



x2 = -2 + 2 = 0



Esta ecuación tiene dos resultados por lo tanto no es la buscada.





Respuesta: (x - 6)^2 + y^2 = 8 <------------------





Suerte

Hola, veamos:



La recta es: y = - 2 + x; con pendiente m = 1



La ecuacion de la circunferencia tiene la forma:



(x - h)^2 + y^2 = r^2 con centro C(h, 0) por estar en el eje X



Por tanto, el radio es: r^2 = (4 - h)^2 + 4



Si hacemos pasar una recta y = a + m* x por (4, 2) y (h, 0), esta sera perpendicular a la recta dada y su pendiente sera m*= -1/m. Por tanto:



m* = -1/1 = -1



Usando el primer punto en la recta perpendicular:



2 = a -1(4) --> a = 6



y = 6 - x . Esta recta pasa por el centro y el punto de tangencia. En consecuencia, si pasa por el centro:



0 = 6 - h --> h = 6.



El centro de la circunferencia esta en C(6, 0)



y su radio es : r^2 = (4 - h)^2 + 4



r^2 = (4 - 6)^2 + 4



r^2 = 8



La ecuacion de la circunferencia es:



(x - 6)^2 + y^2 = 8



Saludos

Mar

HOLA !!!





Ecuacion circunferencia con centro C(a,b )



(x - a)² + (y - b)² = R²



pero nos da que el centro esta en el eje X ==> resulta que b = 0



(x - a)² + y² = R²



Tenemos 2 incognitas :" a "y " R"





Es tangente a la recta : x - y = 2



o sea que el radio R que pasa por (4,2) es perpendicular a este recta :



C de coordenadas (a,0) y el punto (4,2) escribimos la ecuacion de la recta que pasa por estos 2 puntos (que es la ecuacion del radio).



2 - 0 .... y - 0

-------- = ---------

4 - a .... x - a



2.(x - a) = y.(4 - a)



2x - 2a = y(4 - a)



y = [2/(4-a)].x - 2a/(4-a)



resulta la pendiente del radio es :



m1 = 2/(4-a)



el radio tiene que ser perpendicular a la recta : x - y = 2



y = (1).x - 2



pendinte de la recta tangente m2 = 1





para que dos rectas sean perpendicularas tenemos :



m1 = - 1/m2



.. 2 ........ - 1

--------- = -------

4 - a ....... 1





2 = -(4- a)



2 = a - 4



a = 6 ✔

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centro de la circunferencia C(6,0)



Calculamos el radio con la formula de distancia entre 2 puntos : C(6,0) <---> P(4,2)



d(C,P) = R

........ ___________ ....________ ......____

R =√(4-6)² + (2-0)² = √(-2)² + (2)² = √4 + 4 = √8 = 2√2 ✔





Escribimos la ecuacion de la circunferencia (a = 6 , R = 2√2 )



(x - a)² + y² = R²





(x - 6)² + y² = 8 ✔

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o en forma general :



x² - 12x + 36 + y² - 8 = 0



x² + y² - 12x + 28 = 0 ✔ RESPUESTA

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