Buenas respuestas te dieron ya.
Sólo por completarlas un poquito... ¿seguro que el profesor dijo que "tenían que ser" triangulares?
No sé si ya habéis dado matrices semejantes (imagino que no, porque todo esto de matrices nilpotentes y tal se da un poquito antes). Tampoco sé si ya te han dicho que una matriz mxn representa una aplicación lineal f de |R^n en |R^m (por tanto, las cuadradas van de |R^n en |R^n) y que las columnas de la matriz representan las imágenes de los vectores de una base "determinada de antemano" de |R^n.
Digo esto porque es posible que lo que el profesor quisiera haber dicho (aunque tal vez no lo dijera así) es que las matrices nilpotentes "son semejantes" a una matriz triangular (superior o inferior, da igual) con todo 0 en la diagonal. Es decir, que existiría otra base de |R^n donde las imágenes por LA MISMA aplicación f dan como resultado una matriz diagonal.
Todo lo que han dicho ya mis compañeros es correcto. Y tú tampoco estabas equivocado. No obstante, todo esto que te he comentado de matrices semejantes requiere unos cuantos resultados previos. De momento, con que tengas la idea clara y sepas reconocer propiedades como las ya nombradas por Apeiron es más que suficiente. Cuando amplíes más, quiero decir, cuando el profesor avance, tendrás herramientas potentes para identificarlas, como el polinomio característico (aunque las idempotentes tampoco se reconocen bien, que yo sepa).
Y, si todo eso que digo ya lo diste, entonces te cuento luego más.
Un saludo, Brändon!