CALCULO DEL ERROR TIPO II 1
I.INTRODUCCIÓN
El desarrollo de las mayores facilidades computacionales ha provocado varios fenómenos
interesantes en el campo de las ciencias sociales:
a) Mayor empleo de técnicas estadísticas tanto por parte de profesionales en otros
campos, como por especialistas en el área estadística.
b) Uso de nuevos enfoques tendientes a profundizar en diferentes aspectos de la
econometría, que actualmente se pueden abordar con mayor facilidad
(integración, cointegración, causalidad, multicolinealidad, etc.).
c) Posibilidad de realizar más cálculos y ajustes de regresión en menos tiempo.
Este mayor acceso al empleo de estas técnicas tiene, sin embargo, algunas desventajas; en
particular, podrían olvidarse las limitaciones correspondientes, además de que no se realiza, en
algunos casos, una interpretación estadística adecuada de las estimaciones.
Ante estas consideraciones, se plantea la necesidad de profundizar en las consecuencias de
adoptar como patrón de decisión el nivel de confianza a (error tipo I) cuando se podría estar
incurriendo en un error al aceptar como buena una hipótesis falsa (error tipo II), el cual se
denomina probabilidad ß y que resulta fácil de calcular actualmente.
La utilidad práctica de estimar la probabilidad ß consiste en que permite al investigador analizar
los alcances de una posible aceptación de la hipótesis nula. En particular en el análisis de
regresión el supuesto básico (Ho) es que el coeficiente de regresión bajo análisis es igual a
cero, por tanto la aceptación de esa hipótesis implica que no hay influencia de la variable
correspondiente con la variable dependiente.
Sin embargo, en ocasiones, en la teória económica se asume esa incidencia, por tanto el
aceptar Ho implica una contradicción que lleva a otros ensayos. El posible error consiste en
tomar como un absoluto los resultados de la prueba con la probabilidad a, y no calcular la
probabilidad de que esa hipótesis sea falsa (ß).
Toda esta argumentación lleva a la definición del objetivo de esta nota, el cual es brindar
mayores elementos de juicio al investigador al tomar decisiones utilizando pruebas de hipótesis,
y ahorrar en esa forma tiempo y esfuerzo.
1Autorizado por el licenciado Hermógenes Arguedas Troyo.
2
II.PRUEBA DE HIPÓTESIS 2
En las pruebas de hipótesis se emplea la siguiente terminología:
a) Hipótesis nula (Ho). Representa la situación presente (o conocida) de la
naturaleza. Se supone que permanece sin cambio.
b) Hipótesis alternativa (H1). Proposición representativa de la variación sometida a
prueba, frente al estado presente del parámetro.
c) Nivel de significancia. Expresa la probabilidad de rechazar Ho, siendo esta
verdadera (error tipo I). La probabilidad correspondiente se denomina con a.
d) Error tipo II. Probabilidad de mantener Ho cuando esta es falsa. La probabilidad
correspondiente se conoce como ß.
e) Potencia de la prueba de hipótesis (1- ß). Indica la probabilidad de rechazar Ho,
cuando esta es falsa. El gráfico de (1-ß) se conoce como función de potencia
de la prueba de hipótesis.
En el siguiente cuadro se resumen los errores tipo I y II.
CARACTERÍSTICAS DE LOS ERRORES TIPO I Y TIPO II
SITUACIÓN
DECISIÓN Ho CIERTA Ho FALSA
MANTENER Ho
DECISION ACERTADA
Probabilidad (1-a)
ERROR TIPO II
Probabilidad (ß)
RECHAZAR Ho
ERROR TIPO I
Probabilidad (a)
DECISIÓN ACERTADA
Probabilidad (1-ß)
En el anexo No. 2 se muestra la situación descrita de aceptar Ho cuando esta es falsa, por
cuanto en la regla de decisión (límites de confianza) se hallan valores del verdadero valor
poblacional.
III.MÉTODO DE CÁLCULO
La metododología para calcular el error tipo II (ß) se expone en varios libros cuyos nombres se
citan en la bibliografía. Los pasos que se siguen para el cálculo de la probabilidad ß son los
siguientes:
a) Establecer, con los métodos conocidos de cálculo de intérvalos de confianza, los
criterios de decisión para la aceptación o rechazo de la hipótesis nula (se
calculan los límites de confianza).
2 Una descripción de las características de las pruebas de hipótesis se encuentra en el libro : Temas de
Estadística inferencial del lic. Jorge A. Barrientos Valerio . Editorial EUNED.
3
b) Establecer, de acuerdo con el conocimiento que se tiene del fenómeno en
estudio, los distintos valores que pueden utilizarse para calcular la probabilidad ß.
Obviamente ello depende de las hipótesis o suposiciones que se deseen
corroborar.
c) Calcular de acuerdo con los métodos de estandarización la probabilidad ß. En el
caso de pruebas con valores cercanos al límite inferior la especificación es:
ß = P ( x barra > Li/ U1 = K )
Donde: x barra = promedio
Li = Límite inferior
U1 = Valor alternativo. En este caso = K.
En el caso de pruebas con valores cercanos al límite superior se procede de la siguiente
manera:
ß = P ( x barra < Ls/ U1 = D)
Donde: x barra = promedio.
Ls = Límite superior
U1 = Valor alternativo. En este caso = D.
iv) El cálculo de esta probabilidad debe efectuarse dentro del marco de la teoría
estadística. Esto es el uso de las fórmulas correspondientes si la población es
infinita o finita, para variables continuas o discretas o proporciones, el empleo de
la tabla normal estándar o t de estudent según sea el tamaño de la muestra, etc.
v) No debe olvidarse que la probabilidad de incurrir en el error tipo II se estima
utilizando diferentes valores poblacionales para el parámetro (diversas cifras de
U1).
Respecto al tema tratado, en el libro Temas de Estadística inferencial se menciona lo siguiente:
"Analícese lo siguiente con respecto al error tipo II. Primero supóngase que la
hipótesis nula es falsa; entonces el administrador querrá que la prueba de
hipótesis rechace Ho. Ahora bien, como el estimador es una variable aleatoria,
no siempre será rechazada Ho, a menos que se estudie toda la población, pero
en un estudio por muestreo, si esta hipótesis nula no es rechazada, se comete el
error tipo II. Cuando la hipótesis nula es falsa, U1 (la media bajo la hipótesis
alternativa) es diferente a la media que respalda la hipótesis nula, Uo; y para
cada valor posible de U1 se tiene una probabilidad diferente, ß de mantener Ho
siendo falsa. Lógicamente es deseable que ß sea lo más pequeña posible y, por
lo tanto, que la probabilidad de rechazar Ho siendo falsa (1- ß), sea la mayor
posible. En los ejemplos que se presentarán en este subtema, se aclarará la
forma de calcular el valor de ß y la función de potencia de una prueba de
hipótesis".
4
Un ejemplo de la técnica que se utiliza en la evaluación del valor de ß, se desarrolla con el
siguiente ejemplo: se tiene una población de 200.000 (N). En este caso interesa conocer si la
proporción de personas satisfechas con el servicio telefónico (95%) se mantiene. Ello lleva al
siguiente planteamiento de Ho y H1 :
Ho : Po = 95%
H1 : P1 95%
Utilizando los datos y resultados allí obtenidos, con Po igual a 95%, la regla de decisión resultó:
Se mentiene Ho, sí 92.9 < p < 97.1
Se rechaza Ho, sí p £ 92.9 o ³ 97.1
Con la regla de decisión planteada de esta manera, se puede averiguar la magnitud del error
tipo II para diferentes valores de P1 (la proporción bajo la hipótesis nula). Asumáse que
P1=91%. Entonces bajo esa suposición se plantea la pregunta de: ¿Cuál es la probabilidad de
que la prueba de hipótesis no detecte que Po ó Ho son falsas?. Para contestar esta pregunta,
habrá que evaluar el área de la distribución de muestreo bajo P1, que se encuentra en el área
donde se mantiene Ho.
En el anexo No. 2 se presenta un gráfico con las diferentes zonas de aceptación y rechazo del
ejemplo mencionado. Observése que el autor presenta una proporción alternativa (P1) del lado
del límite inferior, la razón es que quiere corroborar la probabilidad ß en caso de valores
alternativos menores a ese límite, ya que interesa mucho el conocer si el criterio de los usuarios
telefónicos ha variado en el sentido de la calificación positiva del servicio recibido.
El valor de ß, se plantea probabilísticamente, de la siguiente forma:
ß = P (p > 92.9 %/ P1 = 91%)
y se lee: ß es igual a la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor que 92.9%, dado
que P1 es igual a 91%. Nótese que el límite es el que se ha marcado en la regla de decisión
para mantener Ho, además, se desprecia el límite de la cola de rechazo superior, ya que por su
lejanía, la probabilidad de que p asuma valores en ese íntervalo es casi nula. En el gráfico 1 del
anexo se presentan las áreas de a y ß. Es importante resaltar que ß es el área que se
encuentra en la zona donde se mantiene Ho, bajo la curva de distribución de muestreo con P1 =
91%.
Se procede ahora al cálculo de ß:
ß = P (p > 92.9 %/ P1 = 91%)
Estandarizando la desigualdad:
ß = P (p > 92.9 %/ P1 = 91%) = P (p-p 1 > 92.9-P 1)
spi spi
Nótese que el primer miembro de la desigualdad estandarizada es el equivalente de la variable
normal estándar, z. Para continuar, hay que calcular primero spi, que es el error estándar de p
bajo la proporción de la hipótesis alternativa (P1= 91%).
5
spi = (P1. Q1 / n) * (1/2)
Observése que en el cálculo de spi no se utiliza el factor de corrección por poblaciones finitas
por cuanto el N poblacional es muy grande (200.000).
spi = (91 * 9 / 600)^(1/2) = 1.17
ß = P(Z > 92.9 -P 1) = P (Z > 1.62) = 0.0526
1.17
Por tanto, la probabilidad de mantener Ho, siendo en este caso falsa, es del 5.26%, si P1 = 91%
y la potencia de la prueba (1 - ß) será (1 - 0.0526) = 0.9474. Lo que implica que en un 94.74%
de las veces en que se realice esta prueba de hipótesis, bajo las mismas condiciones, se
rechazará la hipótesis nula (Ho : Po = 95%).
Para obtener cifras sobre el posible comportamiento de la probabilidad ß y de la potencia de la
prueba (1 - ß) se realiza el cálculo anterior con otros valores supuestos de P1. El gráfico de la
potencia de la prueba se conoce como función de potencia.
El valor (1 - ß) se le conoce como potencia de la prueba de hipótesis, ya que nos indica la
probabilidad que tiene la prueba de rechazar Ho, cuando es falsa. Lógicamente cuando se tiene
una potencia de 1, esto implica que todas las pruebas de hipótesis que se realicen con la
misma población detectarán que la hipótesis nula es falsa. Por el contrario si la potencia de la
prueba es cero, esto indica que ninguna prueba de hipótesis rechazará Ho. Entre los dos casos
extremos que se expusieron existe un continuo del valor de la potencia. 3
En el ejemplo utilizado para ilustrar el procedimiento se emleó la tabla de probabilidades normal
estándar, pero en el caso de los estudios del Departamento de Investigaciones Económicas
posiblemente tendrá que usarse la tabla t de studente por el reducido tamaño de las muestras, y
por la pérdida de grados de libertad que se produce en algunos trabajos. También resulta
probable emplear tablas estadísticas más extensas que las de los textos corrientes. Existen
varias en la biblioteca del Banco Central. 4
3 En el libro TEMAS DE ESTADISTICA INFERENCIAL del Lic. Jorge Arturo Barrientes Valerio se presentan otros
cálculos de ß, en otras situaciones como es el caso de variables monetarias (ingreso promedio mensual), y
también con el límite superior.
4 En la bibliografía se presentan los nombres de dos tablas del tipo mencionado.
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IV.EJEMPLO PRÁCTICO
1) Para ilustrar el método de cálculo se utilizará un ejemplo real extraído de los
cómputos realizados para el estudio de: DETERMINANTES DE LA EXPORTACION GLOBAL5.
El modelo correspondiente tiene la siguiente especificación:
LX = F (LEPIB, LITCER, LITCER(-2), LPR(-1), LCV)
+ - - + -
Donde :
X = Exportaciones globales.
EPIB = Variable "proxy " 6 de la capacidad productiva.
ITCER = Indice de tipo de cambio efectivo real calculado según
metodología del FMI.
PR = Precios relativos = Indice de precios de exportación/ IPPUSA.
Donde IPPUSA es el Indice de precios al consumidor de los
Estados Unidos.
CV = Coeficiente de variablidad del ITCER.
L = Indica el logaritmo natural de cada variable.
(- t )= Indica el número de rezagos.
El período de cálculo cubrió de 1970 a 1990.
La cantidad exportada depende de la capacidad productiva del país, y de los precios relativos de
la exportación señalados en esta formulación. Se incluye, como una señal para el exportador, la
variabilidad del índice de tipo de cambio real (CV). La inclusión de esta última variable la
propugna PAREDES (1988) 7.
5 Veáse, Gaba Ernesto y Araya Rigoberto: "Determinantes de la exportación global de Costa Rica". Serie de
Asuntos Económicos No. 111, Banco Central de Costa Rica, Anexo 10, ecuaciones 78 a 80.
6 Se denomina como tal a la variable utilizada en análisis de regresión para reemplazar o representar a otra
teóricamente más satisfactoria en casos de que los datos de esta última no están disponibles o no existan. (THE
MIT DICTIONARY OF MODERN ECONOMICS-THIRD EDITION).
7 Ver bibliografía.
7
Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
LX = 0.082 + 1.122 * LEPIB - 0.290 * LITCER
(0.09) (15.70) (-2.37)
-0.436 * LITCER(2) + 0.272 * LPR(-1) - 0.014 * LCV
(-2.88) (2.11) (-0.87)
R2ADJ = 0.97 D.W. = 2.08 F = 132.9
En los resultados anteriores se presentan entre paréntesis el valor obtenido por la t calculada
para cada coeficiente de regresión. Como se puede comprobar a excepción de la variable LCV
todas las demás no sólo presentaron el signo correcto sino que también resultaron
significativas. El coeficiente de variabilidad (LCV) mostró el signo esperado (negativo), pero no
resultó significativo, lo cual implicaría la aceptación de Ho, esto es, que el coeficiente es igual a
cero y, y por tanto LX no depende de LCV.
2) Luego de haber escogido la variable (LCV) para un mayor análisis se procede a
calcular los límites de confianza para los coeficientes de regresión. Se sigue en esto lo escrito
por el licenciado Otto Kikut Croceri en el documento: "Cálculo de límites o intervalos de
confianza utilizando SORITEC", de febrero de 1991.
3) En el anexo No. 1 se ofrecen en forma pormenorizada los cálculos realizados de
los límites, y de la probabilidad de ß. Los cómputos del valor medio y de los límites muestran
los siguientes resultados:
Límite inferior = -0.049
Coeficiente = -0.014
Límite superior = 0.020
4) En el siguiente cuadro se brindan algunos resultados del cálculo de ß .
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ERROR TIPO II (ß) Y FUNCIÓN DE POTENCIA (1 - ß) *
U1 P (t>tc) = ß (1 - ß)
-0.00893 0.9890 0.0110
-0.01393 0.9756 0.0244
-0.01893 0.9558 0.0442
-0.02393 0.9232 0.0768
-0.02893 0.8784 0.1216
-0.03393 0.8124 0.1876
-0.03893 0.7245 0.2755
-0.04393 0.6175 0.3825
-0.05393 0.3825 0.6175
-0.05893 0.2755 0.7245
-0.06393 0.1876 0.8124
-0.06893 0.1216 0.8784
-0.07393 0.0768 0.9232
-0.07893 0.0442 0.9558
-0.08393 0.0244 0.9756
-0.08893 0.0110 0.9890
* El límite inferior es -0.04893 y el ^SE es 0.01637.
En la hipótesis nula se supuso que U = cero, y en la alternativa que U cero. La U1
corresponde a diferentes cifras para la variable poblacional. En este caso, y dado que se
supone teóricamente que una mayor variabilidad en el tipo de cambio real genera incertidumbre
y por tanto desalienta las exportaciones, se asumieron valores negativos para U1, en otras
palabras se utilizaron valores cercanos al límite inferior.
V.ANÁLISIS DE RESULTADOS
Se observa en el cuadro anterior que la probabilidad de incurrir en el error tipo II (ß), aceptar la
hipótesis nula siendo falsa, no es reducida por cuanto en valores cercanos y menores al límite
inferior se sitúan inicialmente en alrededor del 50%. La potencia de la prueba aumenta
conforme los valores se alejan de ese límite, en dirección hacia menos infinito. En anexo No. 3
se observa el comportamiento de la potencia de la prueba.
Ensayando valores cercanos al límite inferior pero mayores a este se observa que conforme los
valores se alejan del límite inferior y se acercan a cero (valor de la Ho) la probabilidad de que la
hipótesis nula sea falsa crece y la potencia de la prueba, para detectar esa situación disminuye.
Los límites de confianza son simétricos respecto al valor del coeficiente de regresión de LCV.
Sin embargo, hay indicios de mayor probabilidad de valores negativos que positivos, por cuanto
el límite inferior muestra más distancia respecto a cero que el límite superior. Esto coincide con
lo esperado teóricamente de una relación inversa entre las exportaciones totales y la variabilidad
del tipo de cambio real.
Por otra parte, con valores supuestos de U1 negativos y un tanto cercanos a cero la probabilidad
de incurrir en el error tipo II es alta. Dado lo anterior se asume, con las limitaciones del caso,
9
que a pesar del resultado inicial (aceptación de Ho) se puede aceptar el coeficiente de regresión
encontrado.