Ante todo: nunca conoceremos el valor más exacto de pi. Pues cuando alguien calcule n decimales de pi, aparecerá otro que calcule más. Y así infinitamente.
En teoría, para calcular pi, podrían servir las series del arcsen, arcos, y alguna vez se usó el arctg. Pero para cálculos sofisticados se usan variaciones técnicas de esas series.
En un primer nivel podemos decir que:
Como: arctag(x) = x - x^3/3 + x^5/5-x^7/7+... resulta:
arctag( 1 ) = pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/10 ...
Si sumas 10000 términos de esta serie y multiplicas por 4 obtienes:
pi = 3.14149. Ni siquiera llegamos al conocido 3.1416.
¿Vas viendo lo difícil que es calcular buenas aproximacions de pi?
La serie que te da la exponencial converge mejor y es más fácil de clacular:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + .... . Haciendo x = 1, la suma tiende a e.
Si sumamos 100 términos de esta seri da: 2.71828, y todos estos deimales son buenos.
Para finalizar te recuerdo que dada f( x ), su serie de Taylor se escribe así:
f( x ) = Sum( con n de 0 a infinito ) f(n)(x0) (x - x0 )^n /n!
Donde f(n) quiere decir derivada enésima de f. La derivada 0 es la misma función f.
Las dos series que escribí están calculadas en x0 = 0.
Como todas la derivadas de e^x dan e^x, la serie de la exponencial sale fácilmente.
La del arctag es más difícil. Debes usar que la derivada del arctag es: 1/(1+x^2), que en 0 vale 1.
Calcular las sucesivas derivadas de esta función se hace trabajoso si no descubres una fórmula recurrente. Está en los libros.
Espero quedes satisfecho. Saludos
Agregado:
Ayer me quedé pensando en tu pregunta y creo haber descubierto que tenías interés por una fórmula muy bonita de Euler que dice:
e^(i pi) - 1 = 0. Aquí i es la unidad imaginaria, y tiene la siguiente propiedad: i^2 = - 1.
La demostración de Euler fue puramente simbólica, pero el resultado resultó cierto:
Todas las sumas van de 0 a infinito:
sen(x) = S (-1)^n x^(2 n + 1)/(2 n + 1)!
cos(x) = S (-1)^n x^(2 n)/(2n)!. Entonces:
cos(x) + i sen( x ) = S (-1)^n ( x^(2n)/(2n)! +
+ i x^(2n+1)/(2n+1)! )
Entonces: cos(pi) + i sen(pi) = 1 + i pi - pi^2 - i pi^3/6 +......
Por otro lado:
e^(i pi ) = S ( i pi )^n/n! = 1 + i pi + i^2 pi^2/2! + i^3 pi^3/6 + ..
= 1 + i pi - pi^2/2 - i pi^3/6 + ....
Vemos que dan lo mismo. Entonces:
e^(i pi) -(cos(pi)+i sen(pi) ) = 0, pero cos(pi)=1 y sen(pi)=0.
Entonces: e^(i pi) - 1 = 0
Saludos